Question

【题目】在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．

（1）若点P在线段CD上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如图1；

②解法一：如图1，连接CH，

∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，

∴∠HDQ=45°，

∴△DHQ是等腰直角三角形．

∵DP=CQ，

在△HDP与△HQC中．

，

∴△HDP≌△HQC（SAS），

∴PH=CH，∠HPC=∠HCP．

∵BD是正方形ABCD的对称轴，

∴AH=CH，∠DAH=∠HCP，

∴∠AHP=180°﹣∠ADP=90°，

∴AH=PH，AH⊥PH．

解法二：如图1，连接CH，

∵QH⊥BD，

∴∠QHB=∠BCQ=90°，

∴B、H、C、Q四点共圆，

∴∠DHC=∠BQC，

由正方形的性质可知∠DHC=∠AHD，

由平移性质可知∠BQC=∠APD，

∴∠AHD=∠APD，

∴A、H、P、D四点共圆，

∴∠PAH=∠PDH=45°，∠AHP=∠ADP=90°，

∴△HAP是等腰直角三角形，

∴AH=PH，AH⊥PH．

（2）

解法一：如图2，

∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，

∴∠HDQ=45°，

∴△DHQ是等腰直角三角形．

∵△BCQ由△ADP平移而成，

∴PD=CQ．

作HR⊥PC于点R，

∵∠AHQ=152°，

∴∠AHB=62°，

∴∠DAH=17°．

设DP=x，则DR=HR=RQ=

∵tan17°=，即tan17°=，

∴x=．

解法二：

由（1）②可知∠AHP=90°，

∴∠AHP=∠ADP=90°，

∴A、H、D、P四点共圆，

又∠AHQ=152°，∠BHQ=90°，

∴∠AHB=152°﹣90°=62°，

由圆的性质可知∠APD=∠AHB=62°，

在Rt△APD中，∠PAD=90°﹣62°=28°，

∴PD=ADtan28°=tan28°．

【解析】（1）①根据题意画出图形即可；
②连接CH，先根据正方形的性质得出△DHQ是等腰直角三角形，再由SAS定理得出△HDP≌△HQC，故PH=CH，∠HPC=∠HCP，由正方形的性质即可得出结论；
（2）根据四边形ABCD是正方形，QH⊥BD可知△DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性质得出PD=CQ．作HR⊥PC于点R，由∠AHQ=152°，可得出∠AHB及∠DAH的度数，设DP=x，则DR=HR=RQ，由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【考点精析】利用平行四边形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．