Question

【题目】如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论中正确结论的个数是 ( )

①△ABG≌△AFG；②∠EAG=450；③BG=GC； ④AG∥CF； ⑤S△FGC=3.6

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：①用HL证明△ABG≌△AFG；②由△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，得到∠EAG＝∠BAD；③在直角三角形CEG中，由勾股定理求GC的长；④根据基本图形“等腰三角形＋角平分线→平行线”证明；⑤由GF:EG＝3:5，得S△FCG:S△ECG＝3:5.

详解：①根据轴对称的性质得，△ADE≌△AFE，

所以AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°.

因为AB＝AD，∠B＝90°，所以AB＝AF，

因为AG＝AG，所以△ABG≌△AFG.

则①正确；

②因为△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，

所以∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG，

所以∠EAG＝∠FAE＋∠FAE＝∠BAD＝×90°＝45°.

则②正确；

③因为△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，

所以ED＝EF，GB＝GF，所以EG＝DE＋BG，

设BG＝x，则CG＝FG＝6－x，DE＝2，CE＝4，EG＝x＋2＝x＋2.

Rt△CEG中，由勾股定理得，CG2＋CE2＝EG2，

所以(6－x)2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.

则CG＝6－x＝3，又BG＝x＝3，所以BG＝CG.

则③正确；

④因为△ABG≌△AFG，所以∠AGB＝∠AGF.

因为BG＝CG，BG＝GF，所以CG＝GF，所以∠GCF＝∠GFC.

因为∠BGE＝∠GCF＋∠GFC，所以∠AGB＝∠GCF，所以AG∥CF.

则④正确；

⑤因为GF＝3，GE＝5，所以S△FGC＝S△GCE＝×GC·CE＝××3×4＝3.6.

则⑤正确.

故选D.