Question

【题目】设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个实数根x1，x2．

（1）若x12+x22=2，求m的值；

（2）代数式+有无最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m的值为1；（2）当m=﹣1时，代数式的值最大，最大值为4．

【解析】

试题分析：（1）利用判别式的意义得到△=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1，加上m是不小于﹣1的实数，则﹣1≤m≤1，再根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，接着利用完全平方公式得（x1+x2）2﹣2x1x2=2，则4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2，然后解方程即可得到满足条件的m的值；

（2）先通分，再把x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3整体代入得到代数式为﹣2m+2，然后根据m的取值范围，利用一次函数的性质确定代数式的最大值．

解：（1）根据题意得△=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1，

∵m是不小于﹣1的实数

∴﹣1≤m≤1，

x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，

∵x12+x22=2，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=2，

∴4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2，

整理得m2﹣5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），

∴m的值为1；

（2）代数式有最大值．理由如下：

+=m=m=m=﹣2m+2，

∴﹣1≤m≤1且m≠0，m≠1，

∴当m=﹣1时，代数式的值最大，最大值为4．