Question

【题目】将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，
（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：四边形DHBG是菱形．理由如下：

∵四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，

∴∠A=∠E=90°，AD=ED，AB=EB．

在△DAB和△DEB中， ，

∴△DAB≌△DEB（SAS），

∴∠ABD=∠EBD．

∵AB∥CD，DF∥BE，

∴四边形DHBG是平行四边形，∠HDB=∠EBD，

∴∠HDB=∠HBD，

∴DH=BH，

∴DHBG是菱形

（2）解：由（1），设DH=BH=x，则AH=8﹣x，

在Rt△ADH中，AD2+AH2=DH2，即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，即BH=5，

∴菱形DHBG的面积为HBAD=5×4=20

【解析】（1）由四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，可得出△DAB≌△DEB（SAS），进而可得出∠ABD=∠EBD，根据矩形的性质可得AB∥CD、DF∥BE，即四边形DHBG是平行四边形，再根据平行线的性质结合∠ABD=∠EBD，即可得出∠HDB=∠HBD，由等角对等边可得出DH=BH，由此即可证出DHBG是菱形；（2）设DH=BH=x，则AH=8﹣x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据菱形的面积公式即可求出菱形DHBG的面积．