Question

【题目】如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），

把点A（0，4）代入上式得：a= ，

∴y= （x﹣1）（x﹣5）= x2﹣ x+4= （x﹣3）2﹣ ，

∴抛物线的对称轴是：直线x=3；

（2）解：P点坐标为（3， ）．

理由如下：

∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x=3，

∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）

如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．

设直线BA′的解析式为y=kx+b，

把A′（6，4），B（1，0）代入得 ，

解得 ，

∴y= x﹣ ，

∵点P的横坐标为3，

∴y= ×3﹣ = ，

∴P（3， ）．

（3）解：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．

设N点的横坐标为t，此时点N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5），

如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，

由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣ x+4，

把x=t代入得：y=﹣ t+4，则G（t，﹣ t+4），

此时：NG=﹣ t+4﹣（ t2﹣ t+4）=﹣ t2+4t，

∵AD+CF=CO=5，

∴S△ACN=S△ANG+S△CGN= AD×NG+ NG×CF= NGOC= ×（﹣ t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣ ）2+ ，

∴当t= 时，△CAN面积的最大值为 ，

由t= ，得：y= t2﹣ t+4=﹣3，

∴N（ ，﹣3）．

【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），然后将代入A（0，4）代入抛物线的解析式可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴；
（2）作点A关于对称轴的对称点A′，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，然后再求出直线BA′的解析式，从而可求得点P的坐标．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，可得到点N的坐标，再求得直线AC的解析式，从而可求得NG的长t的函数关系式，最后再求出二次函数最大值即可.