Question

【题目】已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm， CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为ts.

(1) 求CD的长；

(2) t为何值时，△ACP为等腰三角形？

(3) 若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN的值最小，如果有请尺规作出图形（不必求最小值），如果没有请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4.8;(2) 6、8.4、9、9.5;(3)存在，具体作法见解析

【解析】试题分析：（1）根据勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，根据三角形的面积公式计算；
（2）分点P在BC上和P在AB上两种情况，根据等腰三角形的判定定理计算；
（3）根据轴对称-最短路径的作法作图即可．

试题解析：

（1）∵AC2+BC2=36+64=100，AB2=100，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴×AC×BC=×AB×CD，

解得，CD=4.8cm；

（2）当点P在BC上，CA=CP时，CP=6，

则t=12÷2=6s，

当点P在AB上，CA=CP时，

在Rt△ADC中，AD==3.6，

如图，

∵CA=CP，CD为AB边上的高，

∴DP=AP=3.6，

则t=（24﹣7.2）÷2=8.4，

当AC=AP时，t=（24﹣6）÷2=9，

当PA=PC时，

如图，作PH⊥AC于H，

则AH=CH=3，HP=BC=5，

由勾股定理得，AP=5，

则t=（24﹣5）÷2=9.5，

故当t=6、8.4、9、9.5时，△ACP为等腰三角形；

（3）如图，作A点关于BC的对称点A′，过A′作AB的垂线A′N，垂足为N，交BC于M点，M、N即为所求．