Question

【题目】（本题满分12分）如图，平行四边形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，点P从O沿OB边向点B移动，点Q从点B沿BC边向点C移动，P，Q同时出发，速度都是1cm/s．

（1）求经过O，B，D三点的抛物线的解析式；

（2）判断P，Q移动几秒时，△PBQ为等腰三角形；

（3）若允许P点越过B点在BC上运动，Q点越过C点在CD上运动，设线PQ与OB，BC，DC围成的图形面积为y（cm2），点P，Q的移动时间为t（s），请写出y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：（1）过点D作DM⊥OB于M，

∵平行四边形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，

∴OD=BC=6cm，

∴OM=DM=ODsin45°=6×=3，

∴D（3，3），B（8，0），

设经过O，B，D三点的抛物线的解析式为：y=ax（x﹣8），

将D的坐标代入得：3=3a（3﹣8），

解得：a=﹣，∴y=﹣x（x﹣8）；

（2）∵∠PBQ=180°﹣∠DOB=135°，

∴若△PBQ为等腰三角形，则PB=BQ．

设P，Q移动t秒时，△PBQ为等腰三角形，

∴P点走过的路程为t，Q点走过的路程为t，

∴PB=OB﹣t=8﹣t（cm），BQ=tcm．若PB=BQ，则8﹣t=t，解得：t=4（s）．

∴P，Q移动4秒时，△PBQ为等腰三角形；

（3）如图：过点D作DM⊥OB于M，过点P作PN⊥OB于N，交CD于H，

∵四边形OBCD是平行四边形，

∴CD=OB=8cm，BC=OD=6cm，CD∥OB，HN=DM=3cm，

∴PH⊥CD，△CPH∽△BPN，

∴，

由题意得：PC=14﹣t（cm），PB=t﹣8（cm），CQ=t﹣6（cm），

∴，

解得：PH=（14﹣t），

∴y=SOBCD﹣S△CPQ=8×3﹣（t﹣6）×（14﹣t）=t2﹣5t+45，

∵P点越过B点在BC上运动，Q点越过C点在CD上运动，

∴8＜t≤14，

∴y与t之间的函数关系式为y=t2﹣5t+45，t的取值范围为8＜t≤14．