Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如果∠BAC=60°，AD=4，求AC长．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行可得AE与OD平行，再由DE⊥AC，可得DE⊥OD，即DE为圆O的切线，得证；

（2）作OH⊥AC于H，则AH=CH，由已知易得四边形ODEH为矩形，从而有OH=DE=2，在Rt△OAH中， 即可求得AC的长．

试题解析：（1）连接OD，

∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，

∴∠1=∠2，

∵OA=OD，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AE，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（2）作OH⊥AC于H，则AH=CH，

∵∠BAC=60°，

∴∠2=30°，

在Rt△ADE中，DE=AD=2，

易得四边形ODEH为矩形，

∴OH=DE=2，

在Rt△OAH中，∵∠OAH=60°，

∴AH==，

∴AC=2AH=．