Question

【题目】（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）108

【解析】试题分析：(1)、根据正方形的性质以及BE=DF得出△CBE和△CDF全等，从而得出答案；(2)、延长AD至F，使DF=BE．连接CF，然后证明△ECG和△FCG全等，从而得出GE=GF，从而得出答案；(3)、过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，根据(1)(2)得出DG=6，设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，根据Rt△AED的勾股定理求出x的值，最后根据四边形的面积= 得出答案.

试题解析：（1）证明：在正方形ABCD中， ∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF． ∴CE＝CF．

（2）证明： 如图2，延长AD至F，使DF=BE．连接CF．

由（1）知△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF． ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD

即∠ECF＝∠BCD＝90°， 又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG． ∴GE＝GF

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．

（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．

在四边形ABCD中， ∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°， 又∠CGA＝90°，AB＝BC，

∴四边形ABCD 为正方形． ∴AG＝BC． 已知∠DCE＝45°，

根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG． 所以10=4+DG，即DG=6.

设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6

在Rt△AED中， ∵，即．

解这个方程，得：x＝12，或x＝－2（舍去）． ∴AB＝12．

所以四边形ABCD的面积为S=

答：四边形ABCD的面积为108.