Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为________.

Answer 1

【答案】3-3．

【解析】

将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，由AB=AC=2、∠BAC=120°，可得出∠ACB=∠B=30°，根据旋转的性质可得出∠ECG=60°，结合CF=BD=2CE可得出△CEG为等边三角形，进而得出△CEF为直角三角形，通过解直角三角形求出BC的长度以及证明全等找出DE=FE，设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6-3x，在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE=x，利用FE=6-3x=x可求出x以及FE的值，此题得解．

将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．

∵AB=AC=2，∠BAC=120°，

∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，

∴∠ECG=60°．

∵CF=BD=2CE，

∴CG=CE，

∴△CEG为等边三角形，

∴EG=CG=FG，

∴∠EFG=∠FEG=∠CGE=30°，

∴△CEF为直角三角形．

∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，

∴∠BAD+∠CAE=60°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．

在△ADE和△AFE中，

，

∴△ADE≌△AFE（SAS），

∴DE=FE．

设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6-3x，

在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，

EF==x，

∴6-3x=x，

x=3-，

∴DE=x=3-3．

故答案为：3-3．