Question

【题目】如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，AB=CD=2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE=∠DBC．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）求tan∠DBC的值；
（3）求线段BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴∠ABE=∠C，且∠BAE=∠DBC，

∴△ABE∽△BCD

（2）解：过D作DG⊥BC于点G，

∵AD=1，BC=3，

∴CG= （BC﹣AD）=1，BG=2，

又∵在Rt△DGC中，CD=2，CG=1，

∴DG= ，

在Rt△BDG中，tan∠DBC= =

（3）解：由（2）在Rt△BGD中，由勾股定理可求得BD= ，

由（1）△ABE∽△BCD可得 = ，即= = ，解得BE= ，

又∵AD∥BC，

∴ ，且DF=BD﹣BF，

∴ = ，

解得BF=

【解析】（1）根据等腰梯形可得到∠ABE=∠C，结合条件可证得结论；（2）过D作DG⊥BC，则可求得BG、CG，在Rt△DCG中可求得DG，在Rt△BGD中由正切函数的定义可求得tan∠DBC；（3）由（2）可求得BD，结合（1）中的相似可求得BE，再利用平行线分线段成比例得到 ，代入可求得BF．