Question

【题目】如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=3，BC=5，E是边CD的中点，连结BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形．
（2）若BD=BC，求四边形BDFC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，

∴BC∥AD，

∴∠CBE=∠DFE，

又∵E是边CD的中点，

∴CE=DE，

在△BEC与△FED中， ，

∴△BEC≌△FED，

∴BE=FE

∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）解：∵BD=BC=5，

∴AB= = =4，

∴四边形BDFC的面积=BCAB=5×4=20．

【解析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．