Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2﹣2bx﹣3（b为常数，b＜0）．

发现：（1）抛物线y=x2﹣2bx﹣3总经过一定点，定点坐标为　 　；

（2）抛物线的对称轴为直线x=　 　（用含b的代数式表示），位于y轴的　 　侧．

思考：若点P（﹣2，﹣1）在抛物线y=x2﹣2bx﹣3上，抛物线与反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象在第一象限内交点的横坐标为a，且满足2＜a＜3，试确定k的取值范围．

探究：设点A是抛物线上一点，且点A的横坐标为m，以点A为顶点做边长为1的正方形ABCD，AB⊥x轴，点C在点A的右下方，若抛物线与CD边相交于点P（不与D点重合且不在y轴上），点P的纵坐标为﹣3，求b与m之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】发现:(1) （0，﹣3）；(2)b，左；思考：10＜k＜36；探究：b=．

【解析】试题分析:解：（1）抛物线与y轴的交点为定点；当x=0时，y=x2﹣2bx﹣3=﹣3，

所以抛物线经过定点（0，﹣3）；

（2）利用抛物线的对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线x=b，然后利用b的范围确定抛物线的对称轴在y轴的左侧；

思考：把P点坐标代入y=x2﹣2bx﹣3得b=﹣1，则抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，再分别计算出a=2和a=3所对应的二次函数值，从而确定反比例函数与抛物线的交点的位置，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征确定k的范围；

探究：设A（m，m2+2m﹣3），利用正方形的性质得D（m+1，m2+2m﹣3），则P点的坐标为（m+1，﹣3），然后把P（m+1，﹣3）代入y=x2﹣2bx﹣3可得到b与m的关系式．

试题解析:解：（1）当x=0时，y=x2﹣2bx﹣3=﹣3，

所以抛物线经过定点（0，﹣3）；

（2）抛物线的对称轴为直线x=﹣=b，

因为b＜0，

所以抛物线的对称轴在y轴的左侧；

故答案为（0，﹣3），b，左；

思考：把P（﹣2，﹣1）代入y=x2﹣2bx﹣3得4+4b﹣3=﹣1，解得b=﹣1，

抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，

当a=2时，y=x2+2x﹣3=4+4﹣3=5，

当a=3时，y=x2+2x﹣3=9+6﹣3=12，

所以二次函数图象与反比例函数的交点在抛物线上的点（2，5），（3，12）之间，

所以2×5＜k＜3×12，

即10＜k＜36；

探究：设A（m，m2+2m﹣3），

∵正方形ABCD的边长为1，AB⊥x轴，

∴D（m+1，m2+2m﹣3），

∴P点的坐标为（m+1，﹣3），

把P（m+1，﹣3）代入y=x2﹣2bx﹣3得（m+1）2﹣2b（m+1）﹣3=﹣3，

而m+1≠0，

∴m+1﹣2b=0，

∴b=．