Question

【题目】问题背景：

如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，从而得出结论：AC+BC=CD．

简单应用：

（1）在图①中，若AC=，BC=，则CD= ．

（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，，若AB=13，BC=12，求CD的长．

拓展规律：

（3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）

（4）如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE=AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是 ．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）PQ=AC或PQ=AC．

【解析】

试题分析：（1）由题意可知：AC+BC=CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；

（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；

（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由（2）问题可知：AC+BC=CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度；

（4）根据题意可知：点E的位置有两种，分别是当点E在直线AC的右侧和当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、CP后，利用（2）和（3）问的结论进行解答．

试题解析：（1）由题意知：AC+BC=CD，∴=CD，∴CD=3，；

（2）连接AC、BD、AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵，∴AD=BD，将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，如图③，∴∠EAD=∠DBC，∵∠DBC+∠DAC=180°，∴∠EAD+∠DAC=180°，∴E、A、C三点共线，∵AB=13，BC=12，∴由勾股定理可求得：AC=5，∵BC=AE，∴CE=AE+AC=17，∵∠EDA=∠CDB，∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，即∠EDC=∠ADB=90°，∵CD=ED，∴△EDC是等腰直角三角形，∴CE=CD，∴CD=；

（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，连接D1A，D1B，D1C，如图④

由（2）的证明过程可知：AC+BC=D1C，∴D1C=，又∵D1D是⊙O的直径，∴∠DCD1=90°，∵AC=m，BC=n，∴由勾股定理可求得：，∴，∵，∴==，∵m＜n，∴CD=；

（3）当点E在直线AC的左侧时，如图⑤，连接CQ，PC，∵AC=BC，∠ACB=90°，点P是AB的中点，∴AP=CP，∠APC=90°，又∵CA=CE，点Q是AE的中点，∴∠CQA=90°，设AC=a，∵AE=AC，∴AE=a，∴AQ=AE=，由勾股定理可求得：CQ=a，由（2）的证明过程可知：AQ+CQ=PQ，∴PQ=a，∴PQ=AC；

当点E在直线AC的右侧时，如图⑥，连接CQ、CP，同理可知：∠AQC=∠APC=90°，设AC=a，∴AQ=AE=，由勾股定理可求得：CQ=a，由（3）的结论可知：PQ=（CQ﹣AQ），∴PQ=AC．

综上所述，线段PQ与AC的数量关系是PQ=AC或PQ=AC．