Question

【题目】如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．

（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；

（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）四边形EFGH是菱形；

（2）成立，理由见解析；

（3）补全图形见解析；四边形EFGH是正方形，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）连接AD、BC，利用SAS可判定△APD≌△CPB，从而得到AD=BC，因为EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线，则可以得到EF=FG=GH=EH，根据四边都相等的四边形是菱形，可推出四边形EFGH是菱形；（2）成立，可以根据四边都相等的四边形是菱形判定；（3）先将图形补充完整，再通过角之间的关系得到∠EHG=90°，已证四边形EFGH是菱形，则四边形EFGH是正方形．

试题解析：（1）四边形EFGH是菱形．

（2）成立．理由：连接AD，BC．

∵∠APC=∠BPD，

∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．

即∠APD=∠CPB．

又∵PA=PC，PD=PB，

∴△APD≌△CPB（SAS）

∴AD=CB．

∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，

∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．

∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD．

∴EF=FG=GH=EH．

∴四边形EFGH是菱形．

（3）补全图形，如答图．

判断四边形EFGH是正方形．

理由：连接AD，BC．

∵（2）中已证△APD≌△CPB．

∴∠PAD=∠PCB．

∵∠APC=90°，

∴∠PAD+∠1=90°．

又∵∠1=∠2．

∴∠PCB+∠2=90°．

∴∠3=90°．

∵（2）中已证GH，EH分别是△BCD，△ACD的中位线，

∴GH∥BC，EH∥AD．

∴∠EHG=90°．

又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形，

∴菱形EFGH是正方形．