Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，D点在抛物线y= x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB= ，M是抛物线与y轴的交点．

（1）求直线AC和抛物线的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动．问：当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？
（3）在（2）中当P运动到某处时，四边形PDCQ的面积最小，求此时△CMQ的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，∵tan∠ACB= ，

∴ = ，

∴设AO=3x，CO=4x，∵OB=OC，

∴BO=4x，

∴AB2=AO2+BO2，

则25=25x2，

解得：x=1（负数舍去），

∴AO=3，BO=CO=4，

∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），

∴设直线AC的解析式为：y=kx+d，

则 ，

解得： ，

故直线AC的解析式为：y=﹣ x+3；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=8，

∴D（8，3），

∵B，D点都在抛物线y= x2+bx+c上，

∴ ，

解得： ，

故此抛物线解析式为：y= x2﹣ x﹣3

（2）

解：①如图2，∵OA=3，OB=4，

∴AC=5．

设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

∵PQ⊥AC，

∴∠AQP=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，

∴△APQ∽△CAO，

∴ = ，即 = ，

解得：t= ．

②如图3，

设点P运动了t秒时，当QP⊥AD，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

∵QP⊥AD，

∴∠APQ=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，

∴△AQP∽△CAO，

∴ = ，即 = ，

解得：t= ．

即当点P运动到距离A点 或 个单位长度处，△APQ是直角三角形

（3）

解：如图4，∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD= ×8×3=12，

∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，

当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，

由△AQH∽△CAO可得： = ，

解得：h= （5﹣t），

∴S△APQ= t× （5﹣t）= （﹣t2+5t）=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴当t= 时，S△APQ达到最大值 ，此时S四边形PDCQ=12﹣ = ，

故当点P运动到距离点A， 个单位处时，四边形PDCQ面积最小，

则AQ=QC= ，

故△CMQ的面积为： S△AMC= × ×4×6=6．

【解析】（1）首先利用锐角三角函数关系得出A，C点坐标，再求出一次函数解析式，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式；（2）设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO或△AQP∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；（3）只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置，进而得出Q的位置，进而得出△CMQ的面积．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．