Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AC上一点，且AE=BC，过点A作AD⊥CA，垂足为A，且AD=AC，AB、DE交于点F.

（1）判断线段AB与DE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）连接BD、BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，请利用四边形ADBE的面积证明勾股定理．

Answer 1

【答案】
（1）解：AB=DE， AB⊥DE．

如图2，

∵AD⊥CA，∴∠DAE=∠ACB=90°，

∵AE=BC，∠DAE=∠ACB，AD=AC，∴△ABC≌△DEA，∴AB=DE，

∠3=∠1，∵∠DAE=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3+∠2=90°，

∴∠AFE=90°，∴AB⊥DE

（2）解：如图2，

∵S四边形ADBE= S△ADE+ S△BDE= DE·AF+ DE·BF= DE·AB = c2，

S四边形ADBE=S△ABE+S△ADB= a2＋ b2，

∴ a2＋ b2= c2，∴a2＋b2=c2．

【解析】（1）由题目中的已知条件可直接得到△ABC≌△DEA，问题得解；（2）四边形ADBE的两种构成：S四边形ADBE= S△ADE+ S△BDE和
S四边形ADBE=S△ABE+S△ADB，可验证勾股定理。