Question

【题目】如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）

（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；

（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．

Answer 1

【答案】（1）DM=FM，DM⊥FM，证明见试题解析；（2）DM=FM，DM⊥FM．

【解析】

试题分析：（1）连接DF，NF，由正方形的性质，得到AD∥BC，BC∥GE，于是有AD∥GE，得到∠DAM=∠NEM，即可证得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，△DFN是等腰直角三角形，即可得到结论；

（2）连接DF，NF，由正方形的性质，得到AD∥BC，AD∥CN，进而得到∠DAM=∠NEM，可证△MAD≌△MEN，有DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，△DFN是等腰直角三角形，于是可得到结论．

试题解析：（1）如图2，DM=FM，DM⊥FM．证明如下：

连接DF，NF，∵四边形ABCD和CGEF是正方形，∴AD∥BC，BC∥GE，∴AD∥GE，∴∠DAM=∠NEM，∵M是AE的中点，∴AM=EM，在△MAD与△MEN中，∵∠AMD=∠EMN，AM=EM，∠DAM=∠NEM，∴△MAD≌△MEN，∴DM=MN，AD=EN，∵AD=CD，∴CD=NE，∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90°，在△DCF与△NEF中，∵CD=EN，∠DCF=∠NEF=90°，CF=EF，∴△MAD≌△MEN，∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，∵∠EFN+∠NFC=90°，∴∠DFC+∠CFN=90°，∴∠DFN=90°，∴DM⊥FM，DM=FM；

（2）猜想：DM⊥FM，DM=FM．

证明如下：如图3，连接DF，NF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∵点E、B、C在同一条直线上，∴AD∥CN，∴∠ADN=∠MNE，在△MAD与△MEN中，∵∠AMD=∠EMN，AM=EM，∠DAM=∠NEM，∴△MAD≌△MEN，∴DM=MN，AD=EN，∵AD=CD，∴CD=NE，∵CF=EF，∵∠DCF=90°+45°=135°，∠NEF=180°﹣45°=135°，∴∠DCF=∠NEF，在△DCF与△NEF中，∵CD=NE，∠DCF=∠NEF=135°，CF=EF，∴△MAD≌△MEN，∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，∵∠CFD+∠EFD=90°，∴∠NFE+∠EFD=90°，∴∠DFN=90°，∴DM⊥FM，DM=FM．