Question

【题目】定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．

（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则AC边上的伴随圆的半径为 ．

（2）如图2，已知等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，画草图并直接写出它的所有伴随圆的半径．

（3）如图3，△ABC中，∠ACB=90°，点P在边AB上，AP=2BP，D为AC中点，且∠CPD=90°．

①求证：△CPD的外接圆是△ABC某一条边上的伴随圆；

②求cos∠PDC的值．

Answer 1

【答案】（1）2．（2）△ABC的伴随圆的半径分为或或．（3）cos∠PDC=．

【解析】

试题分析：（1）先依据勾股定理求得AC的长，然后依据切线的性质可知AC为圆的直径，故此可求得△BAC的伴随圆的半径等于AC的一半；

（2）当O在BC上时，连接OD，过点A作AE⊥BC．由等腰三角形的性质和勾股定理求得AE=4，依据切线的性质可证明OD⊥AB，接下来证明△ODB∽△AEB，由相似三角形的性质可求得圆O的半径；当O在AB上且圆O与BC相切时，连接OD、过点A作AE⊥BC，垂足为E．先证明△BOD∽△BAE，由相似三角形的性质可求得圆O的半径，当O在AB上且圆O与AC相切时，连接OD、过点B作BF⊥AC，过点A作AE⊥BC，垂足为E．先依据面积法求得BF的长，然后再证明△AOD∽△ABF，由相似三角形的性质可求得圆O的半径；

（3）①连接OB、OP，先证明，从而得到PD∥OB，于是可得到∠1=∠4，接下来证明△BCO≌△BPO，从而可证明∠BPO=90°；②设圆O的半径为r，依据勾股定理定理依据求得PA、BC、OB的长，从而可求得cos∠1=接下来，由∠PDC=∠1可求得cos∠PDC=的值．

试题解析：（1）∵∠C=90°，AB=5，BC=3，

∴AC==4．

∵BC是圆的切线，∠BCA=90°，

∴AC为圆的直径．

∴AC边上的半随圆的半径为2．

故答案为：2．

（2）当O在BC上时，如图（1）所示：连接OD，过点A作AE⊥BC．

∵AB=AC，AE⊥BC，

∴BE=EC=3．

在△AEB中，由勾股定理可知AE==4．

∵AB与⊙O相切，

∴OD⊥AB．

∴∠BDO=∠BEA=90°．

又∵∠OBD=∠EBA，

∴△ODB∽△AEB．

∴．

设⊙O的半径为r．在OB=6﹣r．

∴．

∴r=．

∴△ABC的BC边上的伴随圆的半径为．

当O在AB上时，如图（2），连接OD、过点A作AE⊥BC，垂足为E．

∵BC与⊙O相切，∴OD⊥BC．又∵AE⊥BC，

∴OD∥AE．∴△BOD∽△BAE．

∴．

设⊙O的半径为r，则OB=5﹣r．∴．∴r=．

如图（3）所示：连接OD、过点B作BF⊥AC，过点A作AE⊥BC，垂足为E．

∵S△ABC=BCAE=ACBF，∴×6×4=×5×BF．∴BF=4.8．

∵AC与⊙O相切，∴DO⊥AC．∴DO∥BF．

∴△AOD∽△ABF．∴即．∴r=．

综上所述，△ABC的伴随圆的半径分为或或．

（3）①证明：如图（4）连接OP、OB．

∵△CPD为直角三角形，

∴△CPD的外接圆圆心O在CD中点．

设⊙O的半径为r，则DC=2r，OA=3r．∴．∵PA=2BP，

∴．∴．∴PD∥OB．∴∠1=∠2，∠3=∠4．

又∵∠3=∠2，∴∠1=∠4．在△BCO和△BPO中，∴△BCO≌△BPO．

∴∠BPO=∠BCO=90°．∴AB是圆O的切线．

∴△CPD的外接圆是△ABC某一条边上的伴随圆．

②如图（4）设圆O的半径为r．

∵在Rt△OAP中，OA=3r，OP=r，

∴PA==2r．

∴AB=3r．

∵在Rt△ABC中，AC=4r，AB=3r，

∴BC==a．

∵在Rt△OBC中，OC=r，BC=r，

∴OB==r．

∴cos∠1===．

∵∠PDC=∠1，

∴cos∠PDC=．