Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点．例如点（1，1），(－2，－2)，(，)，…，都是等值点．已知二次函数的图象上有且只有一个等值点(，)，且当m≤x≤3时，函数的最小值为－9，最大值为－1，则m的取值范围是________．

Answer 1

【答案】-1≤m≤1

【解析】令ax+4x+c=x,即ax+3x+c=0，

由题意,△=3-4ac=0，即4ac=9，

又方程的根为 ，解得a=2,c= .

故函数y=ax+4x+c,即y=2x+4x3，

如图1,该函数图象顶点为(-1,-1),与y轴交点为(0,3),由对称性,该函数图象也经过点(4,3).

由于函数图象在对称轴x= -1左侧y随x的增大而增大,在对称轴右侧y随x的增大而减小,且当m≤x≤3时,函数y=2x+4x3的最小值为9，最大值为-1，

∴-1≤m≤1.