Question

【题目】如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BD=．

【解析】

试题分析：（1）结论：BD是圆的切线，已知此线过圆O上点D，连接圆心O和点D（即为半径），再证垂直即可；

（2）通过作辅助线，根据已知条件求出∠CBD的度数，在Rt△BCD中求解即可．

解：（1）直线BD与⊙O相切．（1分）

证明：如图，连接OD．

∵OA=OD

∴∠A=∠ADO

∵∠C=90°，

∴∠CBD+∠CDB=90°

又∵∠CBD=∠A

∴∠ADO+∠CDB=90°

∴∠ODB=90°

∴直线BD与⊙O相切．（2分）

（2）解法一：如图，连接DE．

∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°

∵AD：AO=6：5

∴cosA=AD：AE=3：5（3分）

∵∠C=90°，∠CBD=∠A

cos∠CBD=BC：BD=3：5（4分）

∵BC=2，BD=；

解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H．

∴AH=DH=AD

∵AD：AO=6：5

∴cosA=AH：AO=3：5（3分）

∵∠C=90°，∠CBD=∠A

∴cos∠CBD=BC：BD=3：5，

∵BC=2，

∴BD=．