Question

【题目】如图，已知AM∥BN，∠A=52°，点P是射线AM上的动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

（1）求∠CBD的度数；

（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由，若变化，请写出变化规律；

（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠CBD=64°；（2）不变化，∠APB=2∠ADB，证明详见解析；（3）∠ABC=32°．

【解析】

（1）根据AM∥BN，得知∠A=52°，再根据角平分线的定义知∠ABP=∠CBP、∠PBN=∠DBP，可得∠CBD=∠ABN=64°；
（2）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根据BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，从而可得∠APB=2∠ADB；
（3）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时有∠CBN=∠ABD，即∠ABC=∠DBN，再根据（1）可得∠CBD=64°，∠ABN=128°，即可得答案．

（1）∵AM∥BN，

∴∠A+∠ABN=180°，

∵∠A=52°，

∴∠ABN=128°，

∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠NBP，

∴∠CBD=∠ABN=64°；

（2）不变化，∠APB=2∠ADB，

证明：∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，

∠ADB=∠DBN，

又∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN=2∠DBN，

∴∠APB=2∠ADB；

（3）∵AD∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

又∵∠ACB=∠ABD，

∴∠CBN=∠ABD，

∴∠ABC=∠DBN，

由（1）可得，∠CBD=64°，∠ABN=128°，

∴∠ABC=（128°﹣64°）=32°．