Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的直线分别交AB，AC的延长线于点E，F，AF⊥EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=2AO，请你帮助小强同学证明这一结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠DAC，

∴∠ODA=∠DAC，

∴OD∥AF，

而AF⊥EF，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）证明：连接CD、BD，作DH⊥AB于H，如图，

∵AD平分∠BAC，DF⊥AF，DH⊥AB，

∴DF=DH，

在Rt△ADF和△ADH中

，

∴Rt△ADF≌△ADH，

∴AF=AH，

∵∠BAD=∠DAC，

∴ = ，

∴CD=BD，

在Rt△DCF和Rt△DBH中

，

∴Rt△DCF≌Rt△DBH，

∴CF=BH，

∴AF+CF=AH+BH=AB=2OA．

【解析】（1）连接OD，如图，利用平行线的判定证明OD∥AF，加上AF⊥EF，则OD⊥EF，于是根据切线的判定定理可判断EF是⊙O的切线；（2）连接CD、BD，作DH⊥AB于H，如图，先利用角平分线的性质得到DF=DH，再证明Rt△ADF≌△ADH得到AF=AH，证明Rt△DCF≌Rt△DBH得到CF=BH，所以AF+CF=AH+BH=AB=2OA．
【考点精析】认真审题，首先需要了解圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)．