Question

【题目】已知：直线EF分别与直线AB,CD相交于点F,E,EM平分∠FED,AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点。

(1)如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数。

(2)如图2,EN平分∠HEF交AB于点N,NQ⊥EM于点Q,当H在直线AB上运动(不与点F重合)时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论。

Answer 1

【答案】（1）45o （2）∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°2∠ENQ，证明见解析

【解析】

（1）首先作MQ∥AB，根据平行线的性质，推得∠M= （∠FHP+∠HFP）；然后根据HP⊥EF，推得∠FHP+∠HFP=90°，据此求出∠M的度数即可．

（2）①如图2，首先判断出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=（∠HEF+∠DEF）=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°-∠HED）=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=2∠ENQ即可．

②如图3，首先判断出∠NEQ=∠QEF-∠NEF=（∠DEF-∠HEF）=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°-∠HED）=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=180°-2∠ENQ即可．

如图1,作MQ∥AB,

∵AB∥CD,MQ∥AB，

∴MQ∥CD，

∴∠1=∠FHM，∠2=∠DEM，

∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM= (∠FHP+∠FED)= (∠FHP+∠HFP)，

∵HP⊥EF，

∴∠HPF=90°，

∴∠FHP+∠HFP=180°90°=90°，

∵∠1+∠2=∠M，

∴∠M=×90°=45°.

(2)①如图2,

∠FHE=2∠ENQ，理由如下：

∠NEQ=∠NEF+∠QEF= (∠HEF+∠DEF)= ∠HED，

∵NQ⊥EM，

∴∠NEQ+∠ENQ=90°，

∴∠ENQ= (180°∠HED)= ∠CEH，

∵AB∥CD，

∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ.

②如图3,

∠FHE=180°2∠ENQ，理由如下：

∠NEQ=∠QEF∠NEF= (∠DEF∠HEF)= ∠HED，

∵NQ⊥EM，

∴∠NEQ+∠ENQ=90°，

∴∠ENQ= (180°∠HED)= ∠CEH，

∵AB∥CD，

∴∠FHE=180°∠CEH=180°2∠ENQ.

综上，可得当H在直线AB上运动(不与点F重合)时,∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°2∠ENQ.