Question

【题目】（1）问题背景：如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为上一动点(不与B，C重合)，求证：PA＝PB+PC．请你根据图中所给的轴助线，给出作法并完成证明过程．

（2）类比迁移：如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值

（3）拓展延伸：如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝ AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为____________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）将△ACP绕点A顺时针旋转90°到△ABQ的位置，由旋转的性质可得：∠QBA＝∠PCA，AP＝AQ，PC＝QB，根据圆的内接四边形的性质可证点Q，点B，点P共线，根据勾股定理可证AP＝PQ＝PC＋PB；

（2）连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△EAB，连接OB，OE，则可得EB＝OC，AE＝OA＝3，∠EAB＝∠OAC，根据勾股定理可求OE＝3，根据三角形三边关系可得BE≥OEOB＝33（当点B在OE上时，取等号），即可求OC的最小值；

（3）如图③构造相似三角形即可解决问题，作AQ⊥OA，使得AQ＝OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ＝OC，当BQ最小时，OC最小．

解：（1）将△ACP绕点A顺时针旋转90°到△ABQ的位置，

∵BC是直径，

∴∠BAC＝90°＝∠BPC，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，

由旋转可得∠QBA＝∠PCA，PA＝AQ，PC＝QB，

∵∠PCA＋∠PBA＝180°，

∴∠QBA＋∠PBA＝180°，

∴Q，B，P三点共线，

∴∠QAB＋∠BAP＝∠BAP＋∠PAC＝90°

∴QP2＝AP2＋AQ2＝2AP2，

∴QP＝AP＝QB＋BP＝PC＋PB，

∴AP＝PC＋PB；

（2）如图②：连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△EAB，连接OB，OE，

∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝90°，

由旋转可得：EB＝OC，AE＝OA＝3，∠EAB＝∠OAC，

∴∠EAB＋∠BAO＝∠BAO＋∠OAC＝90°，

∴在Rt△OAE中，OE＝＝3，

∵BE≥OEOB＝33（当点B在OE上时，取等号），

∴OC最小值是33；

（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ＝OA，连接OQ，BQ，OB，

∵∠QAO＝∠BAC＝90°，∠QAB＝∠OAC，

∵，

∴△QAB∽△OAC，

∴BQ＝OC，

当BQ最小时，OC最小，

易知OA＝3，AQ＝4，OQ＝5，BQ≥OQOB，

∴BQ≥2，

∴BQ的最小值为2，

∴OC的最小值为，

故答案为：．