Question

【题目】如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A。过点P（1，m）作直线PM⊥轴于点M，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B、点C不重合），连接CB，CP。

⑴当时，求点A的坐标及BC的长；

⑵当时，连接CA，当CA⊥CP时，求的值；

⑶过点P作PE⊥PC，且PE＝PC，问是否存在m，使得点E恰好落在坐标轴上，若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】⑴A（5，0） BC＝3;⑵⑶

【解析】试题分析：（1）把m=，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△ACH∽△PCB，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；

（3）存在，本题要分当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1和当0＜m＜1时，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标．

试题解析：（1）当m=时，y=-x2+5x；

令y=0，得-x2+5x=0．

∴x1=0，x2=5，

∴A（5，0）．

当x=1时，y=4，

∴B（1，4）．

∵抛物线y=-x2+5x的对称轴为直线x=，

又∵点B，C关于对称轴对称，

∴BC=3；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图）．

由已知得∠ACP=∠BCH=90°

∴∠ACH=∠PCB．

又∵∠AHC=∠PBC=90°，

tan∠ACH=tan∠PCB．

∴．

∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，

又∵B，C关于对称轴对称，

∴BC=2（m-1）．

∵B（1，2m-1），P（1，m），

∴BP=m-1．

又∵A（2m，0），C（2m-1，2m-1），

∴H（2m-1，0）．

∴AH=1，CH=2m-1．

∴，

∴m=；

（3）存在．

∵B，C不重合，

∴m≠1，分两种情况：

①当m＞1时，m=2，相对应的E点坐标是（2，0）或（0，4）；

②当0＜m＜1时，m=．，相对应的E点坐标是（，0）；

∴E点坐标是（2，0）或（0，4）或（，0）．