【题目】如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点在反比例函数的图象上，作轴于点．

（1）的面积为______；

（2）若点的横坐标为4，点在轴的正半轴，且是等腰三角形，求点的坐标；

（3）动点从原点出发，沿轴的正方向运动，以为直角边，在的右侧作等腰， ；若在点运动过程中，斜边始终在轴上，求 的值．

参考答案：

【答案】6

【解析】分析: （1）首先过点B作BC⊥x轴于点C，由等腰三角形的三线合一，可得OC=AC=3，然后由顶点B在反比例函数的图象上，求得点B的坐标；

（2）首先由等腰直角三角形的性质，可得OC=BC，然后由顶点B在反比例函数的图象上，求得点B的坐标，继而求得点A的坐标；

（3）首先过点P作PD⊥x轴于点D，易得AD=PD，则可设AD=b，则点P（4+b，b），又由点P在反比例函数的图象上，求得b的值，继而求得答案．

详解:

（1） 6

（2）依题意，得A（4，3），如图1，过A作AH⊥x轴于H，

∴AH=3，OH=4， ；

要使△OAP是等腰三角形，有如下三种情况：

①当OP=OA时，OP=5

∴点P的坐标为（5，0）

②当AO=AP时，OP=2OH=8

∴点P的坐标为（8，0）

③当PO=PA时，如图2，设点P的横坐标为，

则PO=PA= ，PH=

在Rt△AHP中，

∴

解得：

∴点P的坐标为（，0）

综上所述，点P的坐标为（5，0）或 （8，0） 或（，0）

（3）如图3，

在等腰Rt△MAN，

∵AH⊥x轴于H

∴MH=AH=HN

∴ ON2－OM2=（ON+OM)(ON-OM)

=[（OH+HN)+(OH-MH)][(OH+HN)-(OH-MH)]

=(2OH)(HN+MH)

=(2OH)(2AH)

=4OH AH

4x12 =48

点睛: 本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

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