Question

【题目】如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠BAE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若，BD=5，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

【解析】试题分析：（1）连接AD，由圆周角定理得出∠1=∠2．证出∠C=∠BAD．由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD=90°，得出∠BAC=90°，即可得出结论．

（2）过点F作FG⊥AB于点G．由三角函数得出sinB=，设AD=2m，则AB=3m，由勾股定理求出BD=m．求出m=．得出AD=2，AB=3．证出FG=FD．设BF=x，则FG=FD=5-x．由三角函数得出方程，解方程即可．

试题解析：（1）证明：连接AD.

∵ E是弧BD的中点，∴弧BE = 弧ED，∴∠BAD=2∠BAE．

∵，∴∠ACB=∠BAD

∵AB为⊙O直径, ∴∠ADB=90°,∴∠DAC+∠ACB =90°.

∴∠BAC =∠DAC+∠BAD =90°.

∴AC是⊙O的切线.

（2）解：过点F作FG⊥AB于点G.

∵∠BAE=∠DAE，∠ADB=90°，∴GF=DF.

在Rt△BGF中，∠BGF=90°，

设BF=x，则GF=5-x，∴，x=3,即BF=3.