Question

【题目】如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在边和上．

（1）判断的形状，并说明理由；

（2）求的长；

（3）试求正方形的面积．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形，证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由等边三角形和正方形的性质结合HL定理可证，从而求得BE=DF，然后求得CE=CF，从而可得△FCE的形状；

（2）在等腰直角三角形中，根据勾股定理求解即可；

（3）设BE=x，则AB=BC=，然后根据勾股定理列方程求解，从而求得AB的长，则正方形面积可求．

解：（1）为等腰直角三角形

理由如下：是等边三角形

所以=，AE=AF=EF

又∵在正方形ABCD中，AB=AD

所以在和中

∴

∴BE=DF

∴CE=CF

∵∠C＝90°，

∴为等腰直角三角形；

（2）在等腰中，，

∴

∴

解得：EC=；

（3）在中，，

设BE=x，则AB=BC=，

根据勾股定理可得：，即，

解得：或（不合题意，舍去）

所以，，

．