Question

【题目】如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是 ．

Answer 1

【答案】此题答案不唯一，如：x2﹣ x+1=0
【解析】解：连接AD，BD，OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵四边形DCFE是正方形，
∴DC⊥AB，
∴∠ACD=∠DCB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=∠CDB，
∴△ACD∽△DCB，
∴ ，
又∵正方形CDEF的边长为1，
∵ACBC=DC2=1，
∵AC+BC=AB，
在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2 ，
∴OD= ，
∴AC+BC=AB= ，
以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2﹣ x+1=0．
所以答案是：此题答案不唯一，如：x2﹣ x+1=0．
【考点精析】掌握根与系数的关系和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．