Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1

∴A（﹣1，0）

当x=0时，y=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴

∴ ，

抛物线的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3

∴B（3，0）

（2）

解：由（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直线BC的解析式是：y=x﹣3，

设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3）

∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ；

∴当x= 时，ME的最大值为

（3）

解：答：不存在．

由（2）知ME取最大值时ME= ，E（ ，﹣ ），M（ ，﹣ ）

∴MF= ，BF=OB﹣OF= ．

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，

则BP∥MF，BF∥PM．

∴P1（0，﹣ ）或P2（3，﹣ ）

当P1（0，﹣ ）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣

∴P1不在抛物线上．

当P2（3，﹣ ）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣

∴P2不在抛物线上．

综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形

【解析】（1）先根据直线的解析式求出A、C两点的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标．（2）ME的长实际是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于ME的长和F点横坐标的函数关系式，可根据函数的性质来求出ME的最大值．（3）根据（2）的结果可确定出F，M的坐标，要使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是MP∥=BF，那么只需将M点的坐标向左或向右平移BF长个单位即可得出P点的坐标，然后将得出的P点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的P点．