Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；

（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；

（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=或t=；（3）当t=时，y的值最小．=．

【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=10，BC=．

由题意知：BM=2t，CN=，∴BN=，∵BM=BN，∴，解得：t==．

（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：t=．

②当△NBM∽△ABC时，则，即，解得：t=．

综上所述：当t=或t=时，△MBN与△ABC相似．

（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即，解得：MD=t．

设四边形ACNM的面积为y，∴y==，∴根据二次函数的性质可知，当t=时，y的值最小．此时，=．