【题目】二次函数的顶点是直线和直线的交点．

(1)用含的代数式表示顶点的坐标．

(2)①当时，的值均随的增大而增大，求的取值范围．

②若，且满足时，二次函数的最小值为，求的取值范围．

(3)试证明：无论取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点．

【答案】(1) ；(2)①；②；(3)证明见解析.

【解析】

（1）解方程组即可求出顶点的坐标；

（2）①根据二次函数的增减性列式求解即可；②当时，抛物线为，函数的最小值为，所以可得，解之可求出的取值范围；

（3）联立两个关系式，可得，然后根据一元二次方程根的判别式解答即可.

(1)由题意得，解得，

．

(2)①根据题意得，解得，

的取值范围为.

②当时，顶点为，

抛物线为，函数的最小值为，

满足时，二次函数的最小值为，

，

解得．

(3)，

得，

，

，

抛物线的顶点坐标既可以表示为，又可以表示为．

，，

，

，

，

无论取任何值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点．

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