Question

【题目】已知一次函数y=2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2 ．

（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值。
（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标。
（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值。

Answer 1

【答案】
（1）

解：对于一次函数y=2x﹣4，

令x=0，得到y=﹣4；令y=0，得到x=2，

∴A（2，0），B（0，﹣4），

∵P为AB的中点，

∴P（1，﹣2），

则d1+d2=3

（2）

解：①d1+d2≥2；

②设P（m，2m﹣4），

∴d1+d2=|m|+|2m﹣4|，

当0≤m≤2时，d1+d2=m+4﹣2m=4﹣m=3，

解得：m=1，此时P1（1，﹣2）；

当m＞2时，d1+d2=m+2m﹣4=3，

解得：m=，此时P2（，）；

当m＜0时，不存在，

综上，P的坐标为（1，﹣2）或（，）

（3）

解：设P（m，2m﹣4），

∴d1=|2m﹣4|，d2=|m|，

∵P在线段AB上，

∴0≤m≤2，

∴d1=4﹣2m，d2=m，

∵d1+ad2=4，

∴4﹣2m+am=4，即（a﹣2）m=0，

∵有无数个点，

∴a=2．

【解析】（1）对于一次函数解析式，求出A与B的坐标，即可求出P为线段AB的中点时d1+d2的值；
（2）根据题意确定出d1+d2的范围，设P（m，2m﹣4），表示出d1+d2 ， 分类讨论m的范围，根据d1+d2=3求出m的值，即可确定出P的坐标；
（3）设P（m，2m﹣4），表示出d1与d2 ， 由P在线段上求出m的范围，利用绝对值的代数意义表示出d1与d2 ， 代入d1+ad2=4，根据存在无数个点P求出a的值即可．