Question

【题目】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

（1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：

延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．

（2）问题解决：

受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．

①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；

（3）问题拓展：

如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作∠EDF为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（2）①首先延长FD到G，使得DG=DF，进而得出CF=BG，DF=DG，以及EF=EG，再利用三角形三边关系得出答案；

②由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，再利用勾股定理得出答案；

（3）利用全等三角形的判定与性质得出△DEG≌△DEF（SAS），进而得出EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF，进而得出答案．

（2）证明：①如答题图1，延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．

则CF=BG，DF=DG，

∵DE⊥DF，∴EF=EG．

在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

解：②若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，

由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，

∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，

∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，

∴BE2+CF2=EF2；

（3）解：如答题图2，将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG．

∵∠C+∠ABD=180°，∠4=∠C，

∴∠4+∠ABD=180°，

∴点E、B、G在同一直线上．

∵∠3=∠1，∠BDC=120°，∠EDF=60°，

∴∠1+∠2=60°，故∠2+∠3=60°，即∠EDG=60°

∴∠EDF=∠EDG=60°，

在△DEG和△DEF中，

∴△DEG≌△DEF（SAS），

∴EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF．