Question

【题目】在△ABC中，DE垂直平分AB ，分别交AB、BC于点D 、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN.

(1)如图1，若∠BAC= 100°，求∠EAN的度数；

(2)如图2，若∠BAC=70°，求∠EAN的度数；

(3)若∠BAC=a(a≠90°)，请直接写出∠EAN的度数. (用含a的代数式表示)

Answer 1

【答案】(1)∠EAN=20°；(2)∠EAN=40°；(3)当0<a<90°时，∠EAN=180°-2a；当180°>a>90°时，∠EAN=2a -180°.

【解析】

（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）代入数据进行计算即可得解；

（2）同（1）的思路，最后根据∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入数据进行计算即可得解；

（3）根据前两问的求解，分α＜90°与α＞90°两种情况解答．

(1)因为DE垂直平分AB，

所以AE=BE，∠BAE=∠B，

同理可得∠CAN= ∠C，

所以∠EAN=∠BAC -∠BAE-∠CAN=∠BAC -(∠B+∠C），

在△ABC中，∠B+∠C=180°- ∠BAC=80°，

所以∠EAN= 100-80=20°；

(2)因为 DE垂直平分AB，

所以AE= BE，∠BAE=∠B，

同理可得∠CAN= ∠C，

所以∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，

在△ABC中，∠B+∠C= 180°-∠BAC= 110°，

所以∠EAN=110°- 70°=40°；

(3)当0<a<90°时，∠EAN=180°-2a；

当180°>a>90°时，∠EAN=2a -180°.