Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC
（2）若AB＝4，AD＝3 ，AE＝3，求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC AB∥CD

∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°

∵∠AFE+∠AFD=180° ∠AFE=∠B

∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC CD=AB=4

又∵AE⊥BC

∴ AE⊥AD

在Rt△ADE中，DE=

∵△ADF∽△DEC

∴

∴ AF=

【解析】（1）根据平行四边形的性质可得出∠C+∠B=180°、∠ADF=∠DEC，再证明∠AFD+∠AFE=180°、由已知∠AFE=∠B，即可得出∠AFD=∠C，进而可证出△ADF∽△DEC。
（2）先证明△ADE是直角三角形，利用勾股定理求出DE的长，再由△ADF∽△DEC得对应边成比例，建立方程求出AF的长。