Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB经过点O，CD是弦，且CD⊥AB于点F，连接AD，过点B的直线与线段AD的延长线交于点E，且∠E=∠ACF．
（1）若CD=2 ， AF=3，求⊙O的周长；
（2）求证：直线BE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】解：（1）连接OC．设半径为r，
∵OA⊥CD，
∴DF=FC=，
在RT△OFC中，∵∠OFC=90°，FC=，OF=r﹣3，OC=r，
∴r2=（r﹣3）2+（）2 ，
∴r=4，
∴⊙O的周长为8π．
（2）证明：∵OA⊥CD，
∴DF=FC，AD=AC，∠AFD=90°
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠E=∠ACD，
∴∠ADC=∠E，
∴CD∥EB，
∴∠AFD=∠ABE=90°，
∴BE是⊙O的切线．

【解析】（1）连接OC．设半径为r，在RT△OFC中利用勾股定理即可解决问题．
（2）只要证明CD∥EB，即可得到∠AFD=∠ABE=90°，由此可以得出结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用切线的判定定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．