Question

【题目】已知：抛物线y=ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2（a＞0）．
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；
（2）设抛物线与x轴有两个交点的横坐标分别为x1 ， x2 ， （其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y=ax2+x1 ， 求这个函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使y≤﹣3a2+1，则自变量a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△=4（a﹣1）2﹣4a（a﹣2）=4＞0，

∴抛物线与x轴有两个交点

（2）解：解方程得x= ，

∴x=1或x=1﹣ ，

∵a＞0，x1＞x2，

∴x1=1，x2=1﹣ ，

∴y=a（1﹣ ）+1=a﹣1（a＞0）

（3）0＜a≤
【解析】（3）解：画出直线y=a﹣1和抛物线y=﹣3a2+1的图象，如图，
解方程得到a﹣1=﹣3a2+1得a=﹣1或a= ，
即直线y=a﹣1和抛物线y=﹣3a2+1的图象的交点坐标为（﹣1，﹣2）、（ ，﹣ ），
当﹣1≤a≤ 时，a﹣1≤﹣3a2+1，
而a＞0，
∴a的取值范围为0＜a≤ ．
所以答案是0＜a≤ ．

【考点精析】利用抛物线与坐标轴的交点对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．