（2013•湖州）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=
4
5
，反比例函数y=
k
x
（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．
（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）先过点A作AH⊥OB，根据sin∠AOB=
4
5
，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；
（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=
4
5
，得出AH=
4
5
a，OH=
3
5
a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6，
根据BF=
1
2
a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=
1
2
BM•FM，S△FOM=6+
3
50
a2，再根据点A，F都在y=
k
x
的图象上，S△AOH=
1
2
k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=3
3
，即可求出点C的坐标；
（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．
解答：解：（1）过点A作AH⊥OB于H，
∵sin∠AOB=
4
5
，OA=10，
∴AH=8，OH=6，
∴A点坐标为（6，8），根据题意得：
8=
k
6
，可得：k=48，
∴反比例函数解析式：y=
48
x
（x＞0）；

（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，
∵sin∠AOB=
4
5
，
∴AH=
4
5
a，OH=
3
5
a，
∴S△AOH=
1
2
•
4
5
a•
3
5
a=
6
25
a2，
∵S△AOF=12，
∴S平行四边形AOBC=24，
∵F为BC的中点，
∴S△OBF=6，
∵BF=
1
2
a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=
2
5
a，BM=
3
10
a，
∴S△BMF=
1
2
BM•FM=
1
2
•
2
5
a•
3
10
a=
3
50
a2，
∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+
3
50
a2，
∵点A，F都在y=
k
x
的图象上，
∴S△AOH=
1
2
k，
∴
6
25
a2=6+
3
50
a2，
∴a=
10
3
3
，
∴OA=
10
3
3
，
∴AH=
8
3
3
，OH=2
3
，
∵S平行四边形AOBC=OB•AH=24，
∴OB=AC=3
3
，
∴C（5
3
，
8
3
3
）；

（3）存在三种情况：
当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（
8
3
3
，
4
3
3
），P2（-
2
3
3
，
4
3
3
），
当∠PAO=90°时，P3（
34
9
3
，
4
3
3
），
当∠POA=90°时，P4（-
16
9
3
，
4
3
3
）．
点评：此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（3）有三种情况，不要漏解．
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