Question

【题目】已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α＝（　　）．
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°

Answer 1

【答案】A
【解析】解答：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．
连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，
同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．
∴∠COA＋∠DOB＝∠AOP＋∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝OP＝2，
∴∠COD＝2α．
又∵△PEF的周长＝PE＋EF＋FP＝CE＋EF＋FD＝CD＝2，
∴OC＝OD＝CD＝2，
∴△COD是等边三角形，
∴2α＝60°，
∴α＝30°．
故选A．

分析：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE＋EF＋FP＝CD，此时周长最小，根据CD＝2可求出α的度数．