Question

【题目】类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1

∵等对角四边形ABCD，∠A≠∠C，

∴∠D=∠B=80°，

∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；

（2）

解：①如图2，

连接BD，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD，

②不正确，

反例：如图3，∠A=∠C=90°，AB=AD，

但CB≠CD，

（3）

解：（Ⅰ）如图4，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，

∴AE=10，

∴DE=AE﹣AD=10﹣4=6，

∵∠EDC=90°，∠E=30°，

∴CD=2 ，

∴AC= = =2

（Ⅱ）如图5，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，

∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，

∴AE=2，DE=2 ，

∴BE=AB﹣AE=5﹣2=3，

∵四边形BFDE是矩形，

∴DF=BE=3，BF=DE=2 ，

∵∠BCD=60°，

∴CF= ，

∴BC=CF+BF= +2 =3 ，

∴AC= = =2

【解析】（1）利用“等对角四边形”这个概念来计算．（2）①利用等边对等角和等角对等边来证明；②举例画图；（3）（Ⅰ）当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，利用勾股定理求解；（Ⅱ）当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求出线段利用勾股定理求解．