Question

【题目】抛物线与轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．

（1）时，求抛物线的解析式和BC的长；

（2）如图时，若AP⊥PC，求的值；

（3）是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），BC=2；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由抛物线与轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），得到b=0，故抛物线为，把代入，得到P（2，3）和，由对称轴x=2，即可得到BC的长；

（2）把x=2代入，得到B（2，），设C（x， ），由对称轴，得到C（， ），由，得到A（4a，0），由AP⊥PC，得到，即，解方程即可得到结论；

（3）由OA=4a， OM=2，得到AM=4a-2，由PM∥ON ，得到， 即，解方程即可得到结论．

试题解析：（1）∵抛物线与轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），∴b=0，∴，当时，P（2，3），，∴=，∴对称轴为：x=2，∴BC=2×（3-2）=2；

（2）当x=2时，=，∴B（2，），设C（x， ），∵对称轴，∴，∴，∴C（， ），∵，∴A（4a，0），∵AP⊥PC，∴，∴，整理得：，解得：，∵，∴；

（3）∵A（4a，0），∴OA=4a，∵P（2，2a），∴OM=2，∴AM=4a-2，∵PM∥ON，∴， ∴，解得：．