Question

【题目】如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3 ，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，

∴∠AEB=∠AEC=90°，

在Rt△ABE中，∵sinB= ，

∴AE=ABsinB=3 sin45°=3 × =3，

∵∠B=45°，

∴∠BAE=45°，

∴BE=AE=3，

在Rt△ACE中，

∵tan∠ACB= ，

∴EC= = = = ，

∴BC=BE+EC=3+

（2）解：连接AO并延长到⊙O上一点M，连接CM，

由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC= ，

∴AC=2 ，

∵∠D=∠M=60°，

∴sin60°= = = ，

解得：AM=4，

∴⊙O的半径为2

【解析】（1）根据题意得出AE的长，进而得出BE=AE，再利用tan∠ACB= ，求出EC的长即可；（2）首先得出AC的长，再利用圆周角定理得出∠D=∠M=60°，进而求出AM的长，即可得出答案．
【考点精析】掌握圆周角定理和三角形的外接圆与外心是解答本题的根本，需要知道顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心．