Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．

（1）求直线AB的函数表达式。
（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值
（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图①，设直线AB与x轴的交点为M．

∵∠OPA=45°，

∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得

，解得．

故直线AB的解析式为y=x+2

（2）

解：如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，

根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=QC．

设Q（m，m2），则C（m，m+2）．

∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，

QD=QC=[﹣（m﹣）2+]．

故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为

（3）

解：∵∠APT=45°，

∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．

①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°．

∵Q′（﹣2，4），F（0，4），

∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形．

（i）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；

（ii）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．

②如图③，

若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；

先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．

则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．

设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得

n2+（4﹣n20=22，即n4﹣7n2+12=0．

解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣，即Q″（﹣，3）．

可证△PFQ″为等边三角形，

所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，

所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．

则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．

（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E．

则ET=AE=，OE=1，

所以OT=﹣1，

解得t=1﹣；

（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．

设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=，

∴a+a=，

解得PT=a=﹣1，

∴OT=OP﹣PT=3﹣，

∴t=3﹣．

综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．

【解析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；
（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；
（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．