【题目】定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

(1)如图 1，等腰直角四边形 ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.

图 1

①若 AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线 BD 的长．

②若 AC⊥BD，求证：AD＝CD；

(2) 如图 2，矩形 ABCD 的长宽为方程 －14x+40=0 的两根，其中（BC >AB），点 E 从 A 点出发，以 1 个单位每秒的速度向终点 D 运动；同时点 F 从 C 点出发，以 2 个单位每秒的速度向终点 B 运动，当点 E、F 运动过程中使四边形 ABFE 是等腰直角四边形时，求 EF 的长．

图 2

参考答案：

【答案】（1）①BD=；②证明见详解；（2）或

【解析】

（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；

②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；

（2）先解方程，求出AB和BC的长度，然后根据题意，讨论当AB=AE，或AB=BF时，四边形ABFE是等腰直角四边形.当AB=AE=4时，连接EF，过F作FG⊥AE，交AE于点G，可得运动的时间为4s，可得CF=8，然后得到GE=2，利用勾股定理得到EF的长度；当AB=BF=4时，连接EF，过点E作EH⊥BF，交BF于点H ，可得CF=6，运动的时间为3s，可得AE=3，然后得到FH=1，利用勾股定理求得EF的长度.

解：（1）①∵AB=CD=1，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=BC，

∴四边形ABCD是菱形，

∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴BD=AC=；

②如图1中，连接AC、BD．

∵AB=BC，AC⊥BD，

∴∠BAC=∠BCA，

∴∠ABD=∠CBD，

∵BD=BD，

∴△ABD≌△CBD，

∴AD=CD．

（2）由AB和BC的长度是方程－14x+40=0的两根，则

解方程：－14x+40=0得，，

∵BC >AB，

∴AB=4，BC=10.

根据题意，当AB=AE和AB=BF时，四边形ABFE是等腰直角四边形；

当AB=AE时，如图，连接EF，过F作FG⊥AE，交AE于点G：

∴AB=AE=4，四边形ABFG是矩形，

∴运动的时间为：，

∴CF=，

∴BF=2=AG，

∴GE=2，GF=AB=4，

由勾股定理得：EF=；

当AB=BF时，如图，连接EF，过点E作EH⊥BF，交BF于点H：

∴AB=BF=4，

∴CF=10-4=6，

则运动的时间为：，

∴AE=3，EH=AB=4

∴FH=4-3=1，

由勾股定理得：EF=；

故EF的长度为：或.

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