Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有________（填写序号）.

Answer 1

【答案】① ② ③

【解析】试题解析：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，

∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，

∴△CFG为等腰直角三角形，

∴GF=FC，

∵EG=EF-GF，DF=CD-FC，

∴EG=DF，故①正确；

②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

，

∴△EHF≌△DHC（SAS），

∴∠HEF=∠HDC，

∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；

③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

，

∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；

④错误，当，则3S△EDH=13S△DHC，

理由如下：∵，

∴AE=2BE，

∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

∴FH=GH，∠FHG=90°，

∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，

在△EGH和△DFH中，

，

∴△EGH≌△DFH（SAS），

∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，

∴△EHD为等腰直角三角形，

过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：

设HM=x，则DM=5x，DH= x，CD=6x，

则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，

∴3S△EDH=13S△DHC，故④错误．