Question

【题目】如图， 的平分线交的外接圆于点， 的平分线交于点．

（1）求证： ；

（2）若， ，求外接圆的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：

（1）由AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠EBC，结合∠CBD=∠CAD，可得∠CBD=∠BAD；由此结合三角形外角的性质可证得：∠BED=∠EBD，从而可得DE=DB；

（2）连接CD，由∠BAC=90°可得∠BDC=90°；由∠BAD=∠CAD，可得CD=BD=5，从而可得△BDC是等腰直角三角形，再由勾股定理可求得BC的长，从而可得△ABC外接圆的半径.

试题解析：

（1）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，

∵∠DBC=∠CAD，

∴∠DBC=∠BAE，

∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DE=DB；

（2）连接CD，如图所示：

由（1）可知：∠BAD=∠CAD，

∴CD=BD=5，

∵∠BAC=90°，

∴BC是直径，

∴∠BDC=90°，

∴BC=，

∴△ABC外接圆的半径.