Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④S四边形AEPF= S△ABC ， 当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确有 （ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP= BC=PB，∠B=∠CAP=45°，
∵∠APF+∠FPA=90°，∠APF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠APF，
在△BPE和△APF中，
，
∴△PFA≌△PEB（ASA），即结论①正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP= BC，
又∵EF不一定是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故结论②错误；
∵△PFA≌△PEB，
∴PE=PF，
又∵∠EPF=90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，故结论③正确；
∵△PFA≌△PEB，
∴S△PFA=S△PEB ，
∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB= S△ABC ， 故结论④正确；
综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），始终正确的有3个结论．
故选（C）

根据图形旋转的性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定定理，得出△APF≌△BPE，再结合全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．