如图一，△ABD，△AEC都是等边三角形．
（1）求证：BE=DC；
（2）求∠DPB的度数；
（3）利用结论直接填空：
①若DC=6，点D，点C到直线BE的距离和为
3
3
3
3
；
②如图二，AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=α，则∠BPD=
α
α
．
分析：（1）利用△ABD、△AEC都是等边三角形，求证△DAC≌△BAE，然后即可得出BE=DC．
（2））根据△DAC≌△BAE，得出∠ADC=∠ABE，再根据三角形的外角得出∠DPE=∠BDP+∠DBP=120°，最后根据平角的性质求出∠DPB的度数；
（3）①）根据sin∠DPM=
DM
PD
，DM=
3
2
×PD，CN=
3
2
•PC，再根据DM+CN=
3
2
PD+
3
2
PC，代入计算即可；
②根据SAS证出△ABD≌△AEC，得出∠ABF=∠PDF，再根据∠PFD=∠AFB，即可得出∠DPF=∠BAD=α．
解答：解：（1）过点D作DM⊥BE，CN⊥BE，
∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，
∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AD=AB
∠DAC=∠BAE
AE=AC
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC．

（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠DPE=∠BDP+∠DBP
=∠BDP+∠DBA+∠ABE
=∠BDP+∠ADC+∠DBA
=60°+60°
=120°，
∴∠DPB=180°-120°=60°；

（3）①∵sin∠DPM=
DM
PD
，
∴DM=sin∠DPM•PD=
3
2
×PD，
同理可得：CN=
3
2
•PC，
∴DM+CN=
3
2
PD+
3
2
PC=
3
2
CD=
3
2
×6=3
3
；

②∵∠BAD=∠EAC=α，
∴∠BAE=∠DAC，
在△ABD和△AEC中，
AB=AD
∠BAE=∠DAC
AE=AC
，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴∠ABF=∠PDF，
∵∠PFD=∠AFB，
∴∠DPF=∠BAD=α；
故答案为：3
3
，α．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，用到的知识点是解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，关键是能在较复杂的图形中找出全等的三角形．
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